Abstract

此报告阐述如下著名的猜想。

猜想. 存在临界维数d_c∈{6, 8}使Z^d上的极小生成森林（极小展开森林）MSF中树的数目在d<d_c时为1而在d>d_c时为∞，在临界维数时为1或∞（需具体确定）。

        此猜想是离散概率中长期未决的有着重大学术价值的著名猜想（约有30年历史，对d=1,2成立）。猜想中树的数目与Z^d上一类高度无序的Edwards-Anderson型Ising自旋玻璃模型的基态数目密切相关：若此猜想中树的数目为1，则所论模型的基态只有1对；若此猜想中树的数目为∞，则所论模型的基态有∞对。从上世纪80年代以来，在自旋玻璃理论中有两种观点：一种认为如同长程自旋玻璃模型如Sherrington-Kirkpatrick（SK）模型一样，短程自旋玻璃模型在有限维情形有无穷多对基态。另一种则认为短程自旋玻璃模型在有限维情形只能有有限对基态。此猜想将结束这个长久的争论，且肯定回答自旋玻璃理论中最基础、最核心的问题之一“在有限维情形，短程自旋玻璃模型可否有无穷多对基态？”（有40年之久的历史）。

        诸多专家认为d_c=8。也许从MSF的尺度极限角度来说，d_c=6：Z^7的某些点之间有很长的“在尺度极限中”可能趋于无穷的连接。我们的进展：对足够大的维数d，MSF中树的数目为无穷大；所论猜想与渗流的临界概率p_c (d)是否小于1/d有关。

        G. Parisi的自旋玻璃理论是其2021年摘取诺贝尔物理学奖桂冠的一个主要成就；M. Talagrand 2024年获Abel奖的一个惊人成就便是证明G. Parisi关于SK模型自由能的公式。