近日，南方科技大学数学系李景治教授与合作者在移动目标成像的数学理论与数值方法研究中取得重要进展。相关成果以“Convexification numerical method for imaging of moving targets”为题，发表于国际著名数学期刊 Mathematische Annalen*（2026年第396卷）。李景治教授为论文通讯作者，合作者包括北卡罗莱纳大学夏洛特分校Michael V. Klibanov教授、俄罗斯科学院院士Vladimir G. Romanov教授以及兰州大学杨志鹏副教授。

        移动目标成像在雷达探测、医学超声、地质勘探等领域具有广泛的应用需求。传统方法多采用合成孔径雷达（SAR）技术，但其基于Born近似进行线性化处理，在目标快速运动或介质复杂时精度受限。该研究首次将移动目标成像问题严格表述为双曲型方程中同时依赖空间变量与时间的系数反问题，在数学框架层面实现了从“静态反演”到“动态反演”的本质跨越。

        论文以沿直线运动的点源作为初始条件，通过每个源位置处的侧向Cauchy数据（Dirichlet与Neumann边界条件）构建输入。研究证明，当数据自由度与未知系数自由度相等（m = n = 4）时，该形式确定型反问题具有唯一性与Lipschitz稳定性——这是此前移动目标系数反问题研究中未曾建立的理论保证。

凸化方法：全局收敛的数值求解框架

        传统反问题的最小二乘目标泛函通常非凸，存在大量局部极小值与“狭谷”现象，数值求解极易陷入局部最优。该研究采用Carleman估计构建加权Tikhonov型泛函，证明了该泛函在任意直径的凸有界集上具有强凸性，并据此建立了梯度下降法的全局收敛性及显式收敛速率——这一理论结果不依赖于对初始猜测靠近真实解的假设，从根本上克服了传统方法的“局部收敛”瓶颈。

        在数值实现层面，研究引入特殊正交基下的截断Fourier级数展开，将原反问题转化为不含未知系数的非线性双曲偏微分方程组的边值问题，进而通过有限差分与优化算法完成系数重构。数值实验以运动球体、平移圆柱和旋转圆柱为目标，在无噪声与3%噪声条件下均获得了高精度重构结果，时间分辨的相对误差控制在1%至3%以内，验证了方法在实际场景中的鲁棒性。

        *Mathematische Annalen创刊于1868年，是数学领域历史最悠久、最具影响力的综合性期刊之一，由Springer-Verlag出版。