近日，中国科学院院士、广州南方学院校长汤涛做客理学院第244期科学大讲堂，带来题为“偏微分方程数值解：深度学习方法的机遇与挑战”的学术讲座。讲座由数学系系主任、讲席教授向青主持。

讲座现场

        报告伊始，汤涛院士以偏微分方程数值解的发展史为引，回顾了从有限差分、有限元到谱方法的理论建构。他指出，经过半个多世纪的发展，以有限元为代表的传统数值方法在三维以内的问题上已达到极高成熟度。然而，传统方法面临根本性的瓶颈——维数灾难。当每个空间方向需要布设 N 个网格点时，d 维问题的计算量以 Nᵈ 增长，超过十维的问题在经典框架下几乎不可解。

        正是在这一背景下，深度学习方法进入了计算数学家的视野。汤涛院士系统性地梳理了五大核心挑战：一是边界条件处理——随机采样导致边界点稀疏，在复杂几何区域尤为突出；二是自适应采样策略——如何将采样点集中在解的剧烈变化区域；三是高维非凸优化——多个损失项的梯度冲突和刚性问题；四是频谱偏置——神经网络倾向于优先学习低频分量；五是理论基础空白——这是最大的瓶颈。他指出，深度学习解PDE的理论，仍十分欠缺。

        尽管挑战重重，汤涛院士对前景始终保持乐观态度。他指出了三个正在产生突破的方向：利用倒向随机微分方程（BSDE）成功求解高达10000维的 PDE，包括经济学中重要的HJB方程；算子学习方法（DeepONet、FNO）直接学习函数空间之间的映射，训练完成后可作为代理求解器；不确定性量化中高维概率分布的推断，深度学习方法天然具备优势。

        在问答互动环节中，现场师生就深度学习保物理结构、计算效率与非凸优化等方面踊跃提问，汤涛院士一一进行了详细解答。

        讲座最后，汤涛院士寄语在场青年：“这是一个充满机遇的领域，深耕基础问题亦能实现重大突破。"他勉励大家夯实专业功底，同时拥抱深度学习这一新工具，两者可以协同发展、相得益彰。

向青教授为汤涛院士颁发科学大讲堂荣誉证书和奖牌