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学术时间轴

Congruent numbers, quadratic forms and algebraic K-theory

讲座摘要

We show that if  a square-free and odd (respectively, even) positive integer is a congruent number, then $$\#\{(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3|n=x^2+2y^2+32z^2\}=\#\{(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3|n=2x^2+4y^2+9z^2-4yz\},$$\#\{(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3|\frac{n}{2}=x^2+4y^2+32z^2\}=\#\{(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3|\frac{n}{2}=4x^2+4y^2+9z^2-4yz\}.$$

If we assume that the weak Brich-Swinnerton-Dyer conjecture is true for the elliptic curves , then, conversely, these equalities imply that is a congruent number.

We shall also discuss some applications of the proposed method. In particular, for a prime , we show that  if   is a congruent number, then the -rank of equals one  and if with then is not a congruent number.


个人简介


秦厚荣,男,南京大学数学系教授、 教育部“长江学者奖励计划”特聘教授 ,国家杰出青年基金获得者,首批入选国家“百千万人才计划”。现为中共南京大学委员会委员、数学系主任,中国数学会常务理事,江苏省数学学会理事长。主要研究方向为代数数论与代数K理论。得到了历史悠久的同余数问题的判断法;在著名的Mazur猜想研究中首次取得了完整结果;曾创造性地提出了确定代数整数环上Milnor群的方法,首次得到了关于Tate核的完整结果,证明了多个长期未获解决的猜想。